重新認(rèn)識(shí)教材，看見“看不見的”

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本次教研活動(dòng)由田維寶主任解讀教材。 不知不覺中本單元學(xué)習(xí)進(jìn)入尾聲，回顧本單元學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)呢?大體有三個(gè)：第1學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算，分?jǐn)?shù)乘法包括分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，統(tǒng)稱一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)，當(dāng)然我們?cè)诖诉€要接觸到分?jǐn)?shù)乘小數(shù)。第2是與分?jǐn)?shù)乘法有關(guān)的實(shí)際問題，大體包括：求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少?比一個(gè)數(shù)多(少)幾分之幾的數(shù)是多少?和分?jǐn)?shù)連乘的實(shí)際問題。第3是倒數(shù)。 “一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的計(jì)算法則的推導(dǎo)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)?！耙粋€(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的計(jì)算法則的推導(dǎo)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。第一類是用借助解決實(shí)際問題，用“實(shí)證”的方法進(jìn)行推導(dǎo)。代表的版本有北京版教材（六上第18、19頁）、人教版（六上第31頁、32頁）等。下面以北京版教材（六上第18、19頁）例題3為例進(jìn)行分析（圖見下頁）：該類編排的推導(dǎo)過程分為五步：第一步，基于學(xué)過的數(shù)量關(guān)系類推出解決問題的除法算式；第二步，通過畫圖分析把除法應(yīng)用題轉(zhuǎn)換成用連乘法解決的問題，第三步，基于除法算式和連乘算式都是解決同一個(gè)問題，建立除法算式和連乘算式的相等關(guān)系；第四步，利用乘法結(jié)合律把后面兩個(gè)數(shù)相乘，得到除數(shù)的倒數(shù)，實(shí)現(xiàn)“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”的轉(zhuǎn)化；第五步，學(xué)生依據(jù)上的例子類推和驗(yàn)證，進(jìn)行不完全歸納，“發(fā)現(xiàn)”和總結(jié)計(jì)算規(guī)律（法則）。我個(gè)人認(rèn)為這種類推有三點(diǎn)局限：一是特別的“繞”，很多學(xué)生在接近10次的列式、畫圖、分析的迂回中被繞迷了，以至于很多學(xué)生理解起來倍感困難。二是第三步“強(qiáng)硬地”使用乘法分配律把后面兩個(gè)數(shù)先相乘，不是學(xué)生內(nèi)心的需要、不是計(jì)算必須的，是為了證明而不得已刻意為之，學(xué)生并不能從心底比較“舒服”“自然”地認(rèn)同，更不是學(xué)生自己的生成，是被強(qiáng)迫地順應(yīng)。三是沒有從數(shù)學(xué)內(nèi)部、邏輯地進(jìn)行數(shù)理推理和證明，不符合數(shù)學(xué)“簡(jiǎn)潔”的追求，無論是老師、還是學(xué)生總有一種不完美、不完善、不透徹的感覺。第二類是借助“實(shí)證式的具體、形象、真實(shí)的圖形”和類推進(jìn)行證明。代表版本是北師大版的六年級(jí)上冊(cè)57、58頁和蘇教版六年級(jí)上冊(cè)56、57頁。蘇教版該類編排先是讓學(xué)生借助分析實(shí)際問題中的“具體、形象、真實(shí)的圖形（餅、長(zhǎng)方形和條形圖）”“看到”除以幾分之一，就等于乘以幾（即幾分之一的倒數(shù)），然后再直接類推到“除以幾分之幾，也等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”。這種編排也有兩點(diǎn)局限：一是除以幾分之一，還是實(shí)例驗(yàn)證性的研究，沒有從數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯推理和證明出“為什么除以以及分之一等于乘以幾”。二是類推到除以幾分之幾，是強(qiáng)行的類推，沒有編排驗(yàn)證這種類推是否正確的環(huán)節(jié)，而數(shù)學(xué)的類推本身也是需要證明的，因?yàn)橛械念愅剖浅闪⒌?，有的類推也可能是不成立。這對(duì)于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性而言，是有一個(gè)疏漏，是有缺憾的?？梢赃@樣補(bǔ)救：比如，可以編排可能化成小數(shù)計(jì)算的分?jǐn)?shù)除法驗(yàn)證，或者化成同分分母分?jǐn)?shù)，以包含分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)相除的方式證明這種類推是正確的（見下面浙教版例題1）。第三類，以青島版數(shù)學(xué)為代表，見青島版六上第23、24頁：這種編排和第一類（北京版）編排類似，也是從解決實(shí)際問題入手，走了的是“從生活到數(shù)學(xué)的推到路徑”——共分三個(gè)模塊進(jìn)行，第一個(gè)模塊先解決整數(shù)除以幾分之一，通過對(duì)問題的分析和轉(zhuǎn)換，找到直接解決這個(gè)實(shí)際解決的乘法算式（整數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的倒數(shù)），讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)整數(shù)除以幾分之一等于這個(gè)整數(shù)乘以幾（即這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)）。第二個(gè)模塊解決整數(shù)除以幾分之幾（a÷），通過對(duì)實(shí)際問題分析和轉(zhuǎn)換，找到解決這個(gè)問題的另一個(gè)算式a×b÷c，再b÷c轉(zhuǎn)化。第三個(gè)模塊讓學(xué)生自己借助統(tǒng)一問題，仿照模塊二分析，導(dǎo)出一個(gè)分?jǐn)?shù)除以一個(gè)分?jǐn)?shù)的算法。其存在的問題和第一類基本相同（模塊二的對(duì)b÷c的處理的手法和第一類編排的第三步如出一轍），而且整個(gè)分析和轉(zhuǎn)化的過程更加生澀、難懂。第四類，以浙教版新思維數(shù)學(xué)為代表，見浙教版數(shù)學(xué)（五下）56、57頁該編排從兩條不同的路徑進(jìn)行了證明:第一條路徑是結(jié)合解決問題，引導(dǎo)學(xué)生把分?jǐn)?shù)除法先轉(zhuǎn)化同分分母分?jǐn)?shù)除法，再轉(zhuǎn)化成“包含分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)”相除（即分子相除）；最后再和第二個(gè)因數(shù)為除數(shù)的倒數(shù)的乘法算式比較計(jì)算結(jié)果，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)”和“乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”計(jì)算結(jié)果總是一樣的，得出“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”的結(jié)論。第二條路徑是利用“商不變的性質(zhì)”，將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以除數(shù)的倒數(shù)，將除數(shù)轉(zhuǎn)化為1，來推導(dǎo)。 我個(gè)人感覺該教材的編排更有新意，更簡(jiǎn)潔，也比較容易理解。但是也有兩點(diǎn)值得商榷：一是第一條路徑還是直接對(duì)比除的結(jié)果，和乘以倒數(shù)的結(jié)果，硬性地給予，不是學(xué)生自己能想到的（大多數(shù)不會(huì)想到和乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的乘法算式對(duì)比）。二是第二條路徑是把整數(shù)商不變的規(guī)律直接強(qiáng)硬地類推到分?jǐn)?shù)除法，沒有證明這種類推是成立的（數(shù)學(xué)的類推本身也是需要證明）。第三，這種“空降式”類推也是大多數(shù)學(xué)生自己想不到的，不是自己“生長(zhǎng)”的結(jié)果。 鑒于以上課程編排存在的問題，我對(duì)一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的法則推導(dǎo)這部分內(nèi)容重新進(jìn)行了設(shè)計(jì)和編排，創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)了一種新的課程教學(xué)方案——從倒數(shù)的意義和乘除混合運(yùn)算的計(jì)算規(guī)律入手進(jìn)行推導(dǎo)。這是一種非常簡(jiǎn)便而又完備的數(shù)理證明方案。同時(shí)，我還保留了通過解決問題進(jìn)行實(shí)證的編排內(nèi)容（如北京版的推導(dǎo)方式），但是我把它后置到我設(shè)計(jì)的課程之后，成為選學(xué)式的補(bǔ)充內(nèi)容，為學(xué)生提供從另一種角度探索和理解的路徑。把浙教版的第二種路徑編輯為課外拓展閱讀材料，后置到學(xué)會(huì)分?jǐn)?shù)除法計(jì)算之后，并融入到學(xué)生證明整、小數(shù)的商不變的性質(zhì)適用于分?jǐn)?shù)除法的發(fā)現(xiàn)之中。我的這種課程和教學(xué)設(shè)計(jì)，經(jīng)過課堂實(shí)踐，收到非常好的教學(xué)效果。下面，就把我的新的課程和教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)述如下：我的課程和學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)一共分為三個(gè)模塊。模塊一（單獨(dú)一頁，第一頁）：算法暢想自己想辦法嘗試計(jì)算下面各題的結(jié)果，你能想到多少種不同的算法？（單獨(dú)一頁，留足空間，讓學(xué)生盡情暢想和創(chuàng)造）實(shí)際教學(xué)總，學(xué)生嘗試結(jié)果如下：第（1）題全部學(xué)生都想到了把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，順利完成了計(jì)算；第（2）（3）（4）題一部分學(xué)生嘗試把分?jǐn)?shù)化成循環(huán)小數(shù)，不能解決；一部分學(xué)生把取分?jǐn)?shù)化成小數(shù)后，取近似值，算出近似的商。全體孩子遇到“化成小數(shù)不行”這個(gè)障礙后都能正確得出第（3）題的結(jié)果，并能從里包含里有2個(gè)，或者兩個(gè)×2=推出商是2。部分學(xué)生受此啟發(fā)把自覺把第（2）（3）題化成同分母分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)化成了分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的相除；沒有孩子使用“同時(shí)把被除數(shù)的和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)相同倍數(shù)把除數(shù)變成1的策略；更多的孩子通過提前預(yù)覽教材、父母教學(xué)，以及通過其他途徑“知道”除以一個(gè)分?jǐn)?shù)可以變成乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)來計(jì)算，但是不能解釋為什么可以這樣算。模塊二（單獨(dú)一頁，第二頁）：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到證明工具激勵(lì)性過渡導(dǎo)語：完成下面的這個(gè)“發(fā)現(xiàn)”項(xiàng)目，你就能解釋為什么“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)可以變成乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”。1.下面的題目除了按照從左到右的順序外，你還可以怎樣計(jì)算？2.你有什么發(fā)現(xiàn)？（先乘后除的混合運(yùn)算，可以先除后乘，結(jié)果不變）。3.自己再舉幾個(gè)例子試一試。4．變式應(yīng)用在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生都能正確轉(zhuǎn)化成乘法進(jìn)行計(jì)算，并能條理正確地解釋和闡述自己的推到過程：14÷0.5=14×2，因?yàn)?4÷0.5=14×1÷0.5=14×（1÷0.5）=14×231÷0.1=31×10，因?yàn)?1÷0.1=31×1÷0.1=31×（1÷0.1）=31×101.1÷0.2=1.1×5，因?yàn)?.1÷0.2=1.1×1÷0.2=1.1×（1÷0.2）=1.1×5模塊三（第三頁）：證明一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的統(tǒng)一算法 1.根據(jù)上一頁你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律想一想如果把1.1÷0.2，改成1.1÷你還可怎么算？實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生“很輕易“地完成解釋自己的推到過程：3.思考：甲÷乙=？可以怎樣算？（乙≠0）學(xué)生順利完成自己的一般化的推理過程：甲÷乙=甲×1÷乙=甲×（1÷乙）=甲×乙數(shù)的倒數(shù)（乙≠0）模塊四：自主研究或者自學(xué)其他推到方案學(xué)生可以根據(jù)自己的情況自己選擇完成拓展探究：1.全自由研修：嘗試獨(dú)立探索其他能證明：“甲÷乙=甲×乙數(shù)的倒數(shù)（乙≠0）”的方法。2.必選研修：提供“北京版教材（六上第18、19頁）和浙教版數(shù)學(xué)（五下）56、57頁”的復(fù)印頁，學(xué)生自選一種版本（或者兩種都選），閱讀自學(xué)這種版本教材上的推導(dǎo)方案，并能給同學(xué)們講明白。這個(gè)新的課程和教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)了以下5點(diǎn)目標(biāo)預(yù)期：1.學(xué)生在模塊一中，自己暢想和嘗試多種算法，親身經(jīng)歷和體驗(yàn)了算法的多樣化，他們能從不同的算法中得到智慧的啟迪，增強(qiáng)了從不同的角度解決問題意識(shí)和能力，激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，同時(shí)各種方法之間又能互相印證（證明）。2. 這個(gè)課程的設(shè)計(jì)真正打通了除法運(yùn)算和倒數(shù)意義的內(nèi)在關(guān)系。倒數(shù)的意義是“乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”，即“1除以任何不為零的數(shù)就得到這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，甲÷乙=甲×1÷乙=甲×（1÷乙）正是對(duì)學(xué)生前面學(xué)習(xí)倒數(shù)的真正充分的應(yīng)用。加深了對(duì)倒數(shù)意義和學(xué)習(xí)價(jià)值的認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本身的知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與和諧之美。3.這個(gè)課程設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了真正利用數(shù)學(xué)內(nèi)在概念和規(guī)律（倒數(shù)的意義、乘除混合運(yùn)算順序的規(guī)律），從數(shù)理的角度，即從“數(shù)學(xué)→數(shù)學(xué)”的角度進(jìn)行了簡(jiǎn)潔、完備、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砗妥C明。它和后置的從實(shí)際問題出發(fā)的實(shí)證，即從“生活→數(shù)學(xué)”互相補(bǔ)充和印證，形成了一個(gè)完整的證明形系統(tǒng)，讓學(xué)生對(duì)“一個(gè)除以分?jǐn)?shù)”的計(jì)算法則有了更為立體、完整的全景認(rèn)識(shí)和理解。4.這種課程設(shè)計(jì)更簡(jiǎn)明易懂，更利于學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、去推導(dǎo)，理解地也更深刻，掌握地也更扎實(shí)。5.模塊四給學(xué)生提供可選擇拓展課程。讓學(xué)生在從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)的推理證明的基礎(chǔ)上，又明晰了兩種教材上的“從生活到數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)化過程”，讓學(xué)生體會(huì)到可以從不同的路徑證明和研究“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”，體驗(yàn)了多角度地刻畫和思 老師們聽的都非常認(rèn)真，討論的非常激烈，最后我們六年級(jí)1部和2部的數(shù)學(xué)老師一致認(rèn)為，我們要做這樣的數(shù)學(xué)老師。1.夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)的教師2.教出數(shù)學(xué)味的教師（思想方法）3.教出數(shù)學(xué)味道的教師（文化、滋味）4.教出數(shù)學(xué)境界的教師（數(shù)學(xué)精神）5.教出人文精神的教師