<p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 意大利數(shù)學(xué)家斐波那契﹙約1175-1250﹚提出了一個有趣的問題：“假定一對兔子每一個月生一對小兔子，而小兔子在出生后兩個月就有生殖能力。由一對兔子開始，一年后可以繁殖成多少對兔子？”</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 這個問題給出了一個數(shù)列：</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 1，1，2，3，5，8，13，21……，稱它為斐波那契數(shù)列。該數(shù)列從第三項起，每一項等于它的前兩項之和。若第n項為a?，則有：</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> a?=a???+a??? ，a?=a?=1，n∈N*且n≥3</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 按照上面的遞推式不難算出a??=144，即一年后可以繁殖144對兔子。如果n的取值很大時，利用遞推式來完成運(yùn)算就不方便了。因此須找出斐波那契數(shù)列的通項公式。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 假設(shè)a?=a???+a???可變形為</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> a?-αa???=β﹙a???-αa???），n≥3,n∈N* </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ··········（1）</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 將（1）式還原為，</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> a?=﹙α+β﹚a???-αβa???</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 與a?=a???+a???比較系數(shù)得，</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> α+β=1且 αβ=-1</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 易知：α，β是方程λ2-λ-1=0的兩根，不妨取，</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> α=﹙1+√5﹚/2；β=﹙1-√5﹚/2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 代入（1）式有，</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> a?-﹙﹙1+√5﹚/2﹚a???=﹙﹙1-√5﹚/2﹚·</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ﹙a???-﹙﹙1+√5﹚/2﹚a???﹚，n≥2，n∈N*</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 于是，構(gòu)造了一個新數(shù)列：</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> {a?-﹙﹙1+√5﹚/2﹚a???}</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 它是以﹙1-√5﹚/2為公比的等比數(shù)列，首項為：a?-﹙﹙1+√5﹚/2﹚a?</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∵a?=a?=1</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∴a?-﹙﹙1+√5﹚/2﹚a?=﹙1-√5﹚/2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∴a?-﹙﹙1+√5﹚/2﹚a???</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> =﹙﹙1-√5﹚/2﹚??1，n≥2，n∈N*</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 再假設(shè)a?-﹙﹙1+√5﹚/2﹚a???</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> =﹙﹙1-√5﹚/2﹚??1</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 可轉(zhuǎn)化為，</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> a?+A﹙﹙1-√5﹚/2﹚?=﹙﹙1+√5﹚/2﹚· </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ·﹙a???+A﹙﹙1-√5﹚/2﹚??1﹚</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ··········（2）</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 將（2）式還原為，</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> a?-﹙﹙1+√5﹚/2﹚a???</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> =√5·A﹙﹙1-√5﹚/2﹚??1</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 與 a?-﹙﹙1+√5﹚/2﹚a???</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> =﹙﹙1-√5﹚/2﹚??1比較系數(shù)得，</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> A=1/√5 ，代入（2）有</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> a?+﹙1/√5﹚﹙﹙1-√5﹚/2﹚?</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> =﹙﹙1+√5﹚/2﹚·</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ·﹝a???+﹙1/√5﹚·﹙﹙1-√5﹚/2﹚??1﹚﹞ </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> （n≥2，n∈N*）</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∴a?+﹙1/√5﹚﹙﹙1-√5﹚/2﹚?</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> =﹙﹙1+√5﹚/2√5﹚﹙﹙1+√5﹚/2﹚??1 即，</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px; color:rgb(1, 1, 1);"> </span><b style="font-size:18px; color:rgb(237, 35, 8);">a?=﹙1/√5﹚[﹙﹙1+√5﹚/2﹚?- </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(237, 35, 8);"> -﹙﹙1-√5﹚/2﹚?]，﹙n∈N*）</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 這就是斐波那契數(shù)列的通項公式。其實人們在很早以前就發(fā)現(xiàn)了該公式，是法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)最早給出了該公式的一種證法，因此也叫比內(nèi)公式。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 斐波那契數(shù)列有許多有趣的性質(zhì)。比如數(shù)列中的任意兩個相鄰項a???，a?</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;">滿足關(guān)系：a?2-a???a?-a???2=1或-1，更有趣的是當(dāng)n→∞時，</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;">lim﹙a???/a?﹚ =﹙√5-1﹚/2 ≈0.618.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;">正是將單位線段分成黃金比例的大線段的長。很多生物的生長在某種假定下，也可以構(gòu)成斐波那契數(shù)列。（見下方配圖）</span></p><p class="ql-block"><i style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:15px;"> 初稿：2003.6 ︱ 劉應(yīng)祥</i></p>
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