“底和高認識”的課堂觀察

詩與遠方

常常聽到教師在日常交流的時候，這樣說“現(xiàn)在的學生真笨，這么簡單的問題都不會，氣死人了?！蹦炒巍墩J識底和高》研討課，也許就是一個生動的案例。二年級學生認識了長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形等平面圖形，四年級學習了畫垂線的方法，很容易想到：過直線外一點畫已知直線的垂線，其實質就是畫平行四邊形、三角形和梯形的高。這樣理解的話，這節(jié)課的確是內容簡單枯燥的了。其實如果冷思考一下，教師應該發(fā)現(xiàn)，許多老師認為簡單的知識，往往不簡單，是我們的教學教簡單了。小學階段所涉及的數(shù)學概念都是非常基本、非常重要的，“越是簡單的往往越是本質的”，因此對小學階段的基本數(shù)學概念內涵的理解是如何學習數(shù)學、掌握數(shù)學思想方法、形成恰當?shù)臄?shù)學觀、真正使“情感、態(tài)度、價值觀”目標得以落實的載體。 《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確指出：數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)，主要包括“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”三個方面（簡稱“三會”）。 　　研討課寫真：情景導入，教師課件出示教材圖片后，教師先問學生“限高”的高指什么？接著將圖片中的橋洞抽象出梯形，指著梯形上下底告訴學生：這是梯形的上底，這是梯形的下底，它們是一組平行線，你們知道平行線間的距離處處相等，這里的距離也就是高，平行線之間可以畫無數(shù)條垂線，梯形的上下底之間可以畫多少條高？（課件演示）感覺是僅僅五分鐘左右的時間，教師就已經(jīng)上完課。 本課創(chuàng)設情境后，不應該這么簡單的處理，大有“我不教你也應該會”。真的這么簡單嗎？課程標準指出的：“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”，會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界如何落實，就是通過教師創(chuàng)設真實的問題情境，鼓勵引導學生自己發(fā)現(xiàn)并提出問題，懂得用數(shù)學眼光看現(xiàn)實生活中遇到的問題，學會從現(xiàn)實生活中遇到的問題中尋找數(shù)學問題的原型，能夠自覺地把現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題，真正體驗到數(shù)學之于解決實際問題的重要意義；會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，就要求教師把“限高”的意思講得明白透徹，應該說，學生雖然已經(jīng)學習過高的定義和畫高技能，大部分學生能掌握一定“高”的簡單作圖技能，但對“高”這一概念的認識仍停留在直觀、模糊的層次上，學生只抓住了高的“具象特征”即“垂線段”，但是沒有抓住高是“從哪里出發(fā)到哪里”的垂直線段的本質特征，通過教學要讓學生由模糊到清晰，教師應該讓學生上臺展示，通過用手指一指，說一說，先指出情境圖中“高”的實際含義，再讓學生能夠準確的描述出高的概念，為了避免學生發(fā)生將生活中的高和數(shù)學中的高混淆，即認為高就是垂直于地平面的線段，而教材高的定義又是描述性定義，但是，數(shù)學概念教學不能停留在“只能意會，不能言傳”，而丟失了數(shù)學本身最重要的“對客觀世界的定性把握和定量刻畫”的意義，教師應當準確把握“高”的概念本質，尋找合理的教學方法，有效引導學生對概念的理解從“適當模糊”走向“趨向本質”。這就需要教師引導學生會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，教師可以先請理解能力強學生表達自己對“高”的理解，給其他學生樹立榜樣，再通過組織學生的思維辨析和交流分享活動，教師根據(jù)學生認知，逐步引導學生學會用準確的數(shù)學語言表達，從而全面、深入地理解“高”的本質意義。 值得一提的是：教材所呈現(xiàn)的只是形式化的、冰冷的結果，教師的教學如果從這些“冰冷”的形式開始，學生就不可能經(jīng)歷“火熱”的數(shù)學思考過程。教師在實際數(shù)學教學時，如果從“形式”開始，學生就容易出現(xiàn)“形式”上的理解。為了避免“形式”上的教，需要教師將“學術形態(tài)的數(shù)學轉化為教育形態(tài)的數(shù)學（張奠宙）”，為此，需要教師：關注學生的生活概念、經(jīng)驗與數(shù)學概念之間的本質聯(lián)系與區(qū)別，自然地實現(xiàn)由“生活概念向科學概念的運動（杜威）”；關注數(shù)學概念、知識發(fā)展的歷史本源，關注其形成、發(fā)展的原始動力與過程；關注現(xiàn)實問題向數(shù)學問題的轉化過程，真正讓學生經(jīng)歷“建?！钡倪^程，體驗到數(shù)學之于解決實際問題的重要意義；更需要關注學生的樸素問題與思維過程，真正激發(fā)學生探究的愿望，發(fā)展理智的好奇。因此，一個數(shù)學教師專業(yè)成長的核心是對數(shù)學學科本質的把握。   習近平總書記在二十大報告指出“教育、科技、人才是全面建設社會主義現(xiàn)代化國家的基礎性、戰(zhàn)略性支撐。”“我們要堅持教育優(yōu)先發(fā)展、科技自立自強、人才引領驅動，加快建設教育強國、科技強國、人才強國……”對于教師的要求，習近平總書記是這樣闡述的：“要給學生一碗水，教師要有一潭水?！弊鳛榻處?，我們需要時時追問自己，需要對自己的學科知識保持自我監(jiān)控與反?。何覀冞€有“一潭水”嗎？教師如何葆有這“一潭水”？ 　　概念教學是小學數(shù)學教學的重要組成部分。表象和定義是一個概念的兩個側面，前者表示概念的內部表征，后者是概念的外部表征，它們是概念形成過程中必須重視的方面。教學中，不少教師存在“重視定義本身，而忽視表象對本質把握的作用”或“重視表象，而未深入定義本質”等現(xiàn)象。那么，教師怎樣才能夠在概念教學中，一定要處理好表象和定義的關系，從而讓概念教學更有效呢？我以數(shù)學教研組昨天的研討課“認識底和高”為例，談談本課教師應該具備的教學思考。 教材與學情分析 “認識底和高”這節(jié)課是在學生學習了梯形、平行四邊形和三角形的特征，初步認識平行四邊形和梯形的高，學習了運用三角尺或直尺畫垂線的方法的基礎上，本課是學生進一步學習平行四邊形面積、三角形面積和梯形面積計算的基礎。幾何圖形的“高”是較為抽象的幾何知識，小學生理解起來比較困難。 若干年前，我在教學本課之前，曾經(jīng)利用問卷星就“高的認識”對學生進行了簡單的前測。測試數(shù)據(jù)顯示，當所給的平行四邊形和梯形的平行線屬于上下平行，大多數(shù)學生能畫出多條高，部分認為高就是平行線之間的距離。如下圖： 　　前測數(shù)據(jù)中，當所給的平行四邊形和梯形的平行線屬于左右平行時，發(fā)現(xiàn)大約有50%的學生不能正確畫出高，還有的學生不能解釋為什么梯形的兩條腰之間不能作高。 通過學生的個別訪談，發(fā)現(xiàn)部分學生雖然理解了高的概念，但是只抓住了高的“具象特征”即“垂線段”，但未抓住高是“從哪里出發(fā)到哪里”的垂直線段，所以雖然學過畫高技能卻仍然會錯。小部分學生雖然學習認識了高，但是仍然將生活中的高和數(shù)學中的高混淆，他們認為高就是垂直于地平面的線段。 由此我們可以知道，雖然學生已經(jīng)學習過高的定義和畫高技能，大部分學生能掌握一定“高”的簡單作圖技能，但是對“高”這一概念的認識仍停留在直觀、模糊的層次上。 教學思考 大家都知道，小學階段的數(shù)學，不少概念沒有給出嚴格的定義或者只是給出模糊的描述性定義，幾何圖形的“高”也是如此。即便如此，數(shù)學概念的教學也不能停留在“只能意會，不能言傳”，而丟失數(shù)學本身最重要的“對客觀世界的定性把握和定量刻畫”的意義，教師應當準確把握“高”的概念本質，尋找合理的教學方法，引導學生對概念的理解從“適當模糊”走向“趨向本質”。 　　概念是認知的基礎，是數(shù)學思維的胞。而概念的內涵又是豐富的，需要學生多層次、多維度進行領悟：從直觀到抽象，從具體到一般，從內涵到外延。變式教學，通過改變問題的非本質屬性而進一步達成對本質的理解，促使學生在對比辨析中增強思維的邏輯性和嚴謹性，培養(yǎng)學生多角度思維的靈活性和發(fā)散性，是幫助學生理解概念本質的重要途徑。認識底和高的教學需要教師把握以下三點： 1、感知原型，形成表象 概念引入是組織教學的第一步，引入的方式在很大程度上決定了概念學習的效果。小學數(shù)學中的幾何概念往往有豐富的現(xiàn)實原型，學生的經(jīng)驗以及這些現(xiàn)實原型是構建抽象概念的源泉和基礎。因此，概念引入變式就是在教學抽象概念時，先將概念還原到學生所熟悉的現(xiàn)實情境，再通過變式移植概念的本質屬性，使現(xiàn)實情境數(shù)學化，以促進概念的形成。 例如，老師揭示課題“認識底和高”之后，出示教材情景圖，提出問題：你知道“限高”是什么意思？“高”指的是圖中的哪一條線段的長度？你能把它畫出來嗎？在學生同伴交流的基礎上，讓學生嘗試在投影儀下進行畫圖展示，同時，教師提醒其他學生“仔細觀察她是怎么擺三角板的，是從哪里畫到哪里的？”。當學生經(jīng)過頂點用虛線標出橋洞的“高”的時候，老師追問：只能從這一點畫嗎？經(jīng)過觀察思考，學生們發(fā)現(xiàn)還可以在平行線上任取一點作垂直線段。緊接著，老師用紅線勾勒出橋洞的輪廓，從中抽象出一個標準的標有底和高梯形。并指出梯形中平行的兩條邊都是“底”，其中較長的邊叫“下底”，較短的邊叫“上底”“高”是指上底和下底之間的垂線線段的長…… 設計思路分析 在對梯形的“底”和“高”概念教學中，學生在對“高”的理解容易出現(xiàn)障礙。做為教師要基于學生思維“最近發(fā)展區(qū)”，教師可以從學生所熟悉的量身高情境入手，初步獲得“高”的感性經(jīng)驗。為了讓凸顯梯形的本質屬性，使干擾因素的刺激降低到最小限度，教師應該有意識地選擇生活中的與梯形相似的直觀材料，以亟待解決的問題為導向，先讓學生找出“限高”，幫助建立能突出事物共性的清晰表象，而后再隱去直觀實物，以表象為中介，從中抽象出數(shù)學模型，引出梯形的“高”，通過抽象思維達到對概念的理性理解。在這個從“感知——表象——抽象”的由淺入深的認知加工過程中，從“實物——圖形——文字”，學生對概念的抽象化水平也在由表及里地梯進式發(fā)展。 2、溝通聯(lián)系，聚焦本質 心理學研究表明，小學生在學習新概念時，如果對象進入大腦的信息不受前攝抑制干擾，會更容易在大腦中留下印記。因此，為了更好地促進學生對概念的內化加工，教師一方面需要對學生的首次感知進行正面的強化刺激，另一方面又要為他們尋找一個支撐點，以點帶面，溝通好新舊概念之間的聯(lián)系。在幾何概念教學中，圖形變式就是一種常見的方法,它通過借助圖形變化，重復突顯概念的本質屬性，為學生提供有利于概括的信息，同時提高他們的類比推理能力。 在“認識底和高”的第二個教學環(huán)節(jié)，教師應該組織有效的思辨活動，三角形、梯形、平行四邊形的高必須從哪里找點？找到點之后向哪里作垂直線段？三角形、梯形、平行四邊形的高有什么相同和不同？  設置這樣的辨析活動，很有必要，將所學的平行四邊形、梯形和三角形的高聯(lián)系起來，通過對比，發(fā)現(xiàn)高的本質其實就是點到線的垂直線段。將抽象的高認知轉化為過去所學的“點到線的垂直線段”這一舊知。再進一步區(qū)分不同圖形中高的不同是源于高的點的位置不同，三角形的高必須從頂點作高，只有三條高；平行四邊形和梯形的高是平行邊上任意一點作高，所以有無數(shù)條。讓高這一概念，在學生眼里不再“飄忽不定”。。這有利于真正理解兩種圖形高的定義，讓學生對高的理解更貼近數(shù)學本質。 教師也可以在梯形的基礎上引導學生進行想象：如果梯形的下底不變，將上底逐漸向右延長，可能會變成什么圖形？學生通過觀察發(fā)現(xiàn)，當兩條底的長度相等的時候，梯形會變成平行四邊形。如果再按這樣的趨勢走又會變成梯形。在此基礎上教師繼續(xù)引導：如果再將上底向左縮短可能會變成什么圖形？如果長度變?yōu)?呢？然后借助希沃白板的動畫直觀演示，呈現(xiàn)梯形的上底“向右”、“向左”的動態(tài)變化的圖形，直觀地驗證同學們的想象。在此基礎上，教師質疑：在這個動態(tài)變化過程中，你們發(fā)現(xiàn)什么變了，什么沒變？這三種圖形高的畫法有什么相同點？引導學生通過觀察和思考，概括出“從一個頂點向底引出的、與底垂直的線段就是高?！蓖ㄟ^類比平行四邊形和梯形的高的認識的經(jīng)驗，猜想三角形的高的樣子，學生充分經(jīng)歷猜想、畫圖、辨析、思考四個數(shù)學活動，親身經(jīng)歷三角形高的定義的形成過程，對于感悟概念的內涵十分重要。 教師在傳授一種知識時，不僅要教會學生操作的方法，更要講清楚操作背后的理由，這樣的知識才是活的，才有可能真正變成學生自己可操作的對象。教師應該知道：教育需要不斷啟迪學生的“智慧”，讓每個學生越學越聰明。教學生學會學習，并且具備終身學習的能力。“死記硬背”“知識填鴨”對啟迪智慧有巨大的副作用，如果教師如此教學，學生的智慧會被磨損，甚至產(chǎn)生厭學情緒。 教會學生學習、啟迪學生智慧的核心就是培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。 設計思路分析 教師要注意引領學生用一種“大數(shù)學”的眼光，將新概念置于學生已掌握的數(shù)學知識體系中，通過對舊知識點進行的橫向和縱向聯(lián)結，讓學生在對上底從左往右，又從右往左的等高變形中，進行想象與推理，在思考與交流的過程中，既感受到知識的發(fā)展（梯形、平行四邊形和三角形進行了相互轉化），又領悟了知識的統(tǒng)一（三者的底和高都互相垂直）。此外，這個環(huán)節(jié)的變式中所滲透的極限思想和轉化思想，促進了學生空間想象能力的發(fā)展，還為學習梯形面積公式的轉化應用作好了鋪墊。教師進行教學設計的時候，讓學生看到的，不應該僅僅是一個“點”，應該是一條“線”，甚至是一個“面”。 3、打破定勢，突顯內涵 對于小學生來說，抽象數(shù)學概念的學習需要經(jīng)歷一個復雜的認知過程。不僅要利用常態(tài)的標準材料，還要考慮到學生思維定勢的負面影響，為學生提供典型的變式材料讓他們去辨析比較，促成完整明晰的概念理解。 在學生畫出“標準”圖形指定的底邊上的高之后，教師要注意將圖形進行旋轉（如圖3所示），請學生指出梯形的“底”在哪里。當學生指著邊AB說它是上底的時候，老師要追問學生“你為什么認為它是上底？”學生可能會回答“在上面的是上底”，學生也可能認為邊BC是上底，因為“它比較短”，這時，教師應該指著邊AB反問“我覺得它也比較短，為什么就不能是上底？”教師通過巧妙質疑，引導學生的積極思維和交流，產(chǎn)生碰撞的火花，道理不辨不明，只有這樣，學生才能夠深刻領悟到梯形中平行的兩條邊才是“底”。 　　再接著，教師通過將平行四邊形旋轉至如上圖所示位置，讓學生再在練習紙上或者事先準備好的梯形、三角形和平行四邊形的紙片，讓學生畫出指定底所對應的高，學生正確畫完高后，針對學生課堂生成的資源，教師再次質疑：“高怎么會是斜的？”根據(jù)學生的回答，教師繼續(xù)追問：“你為什么覺得這樣斜著畫就不像是高？”學生受到量身高時都是豎直量的思維影響，可能出現(xiàn)下面的情況（如圖4所示） 　　教師抓住問題的關鍵引導學生思考并交流：“什么是平行四邊形的高？”，“那垂直和豎直有什么不一樣？”幫助學生加深從一個頂點向底引出的、與底互相垂直的線段才是高的認知。針對學生的思維引導學生辨析：“豎直”是“從上往下”而“垂直”是指兩條線“相交成直角”“那豎著量出來的難道不是我們的身高嗎？如果是的話，又是什么和什么互相垂直？”于無聲處聽驚雷，學生通過思考辨析，會恍然大悟：原來，高可能“豎著”，也可能“斜著”，但不管怎樣，都得與之相對應的“底”互相垂直。 由此學生們會很快發(fā)現(xiàn)不管三角形怎么轉，與指定的高垂直的線段F便是它的底……思維不能就此停止，教師進一步追問：三角形的底只有這一條嗎？與之對應的高又在哪里？請大家動手畫一畫…… 設計思路分析 “底”和“高”的教學，其實是以“關系”為本質的概念教學，把握此概念與彼概念之間的關系，對于學生來講是難點。因為教材通常是將用以反映本質特征的圖形畫成“標準圖形”，而學生對于“互相垂直”的認知，往往習慣于在標準圖形中“豎著”理解。教師通過故意改變圖形的位置和方向，讓學生在思維定勢的干擾下發(fā)生錯誤，進而，教師利用課堂的生成資源，幫助學生從對錯誤的認識中引發(fā)更為深刻的正面思考，明確“高”可能是“豎直”的，也可能是“斜著”的，還有可能是“橫著”的，這樣的組織教學，效果是不言而喻的。 　　做為一名教師，務必要學會做真學問，用真心育人，教給學生真本事。就要做到：激發(fā)學生的求知欲，啟迪學生的智慧，成就學生的遠大志向。希望每位教師， 在課前，多一些準備，多一些心血，多一些付出，多一些預設。在課堂里，多一些傾聽，多一些交流，多一些互動，多一些期待，多一些理解，多一些欣賞，多一些寬容， 多一些“人”的視角， 多一些學生立場。