拓數(shù)學知識，展數(shù)學魅力——省二遠洋七年級數(shù)學學科線上活動分享第二期

WTH

云端相聚，思維碰撞。吉林省第二實驗遠洋學校中學部七年級迎來了第二期數(shù)學學科線上活動。數(shù)學是人類智慧的結晶，是流淌在歷史河床上的涓涓細流，給予知識的養(yǎng)分，推動文明的發(fā)展。我國著名數(shù)學家陳省身曾說過：“世界再紛繁，加減乘除算盡；宇宙雖廣大，點線面體包完?！睌?shù)學的強大張力，也正是它的魅力之處。<br> 通過拓展數(shù)學知識，感悟數(shù)學的魅力。讓我們跟隨七年級的同學們，一起探索數(shù)學的奧秘吧！七年四班程一然同學分享了<font color="#ed2308">數(shù)學之美——神奇的雙曲線</font>。很多科技館都有展覽的雙曲線模型，大家可以看到一個旋轉的直桿可以穿過彎曲的線槽，直桿穿過平面留下彎曲軌跡，這樣的現(xiàn)象讓人嘖嘖稱奇。廣州的地標建筑——廣州電視塔，俗稱小蠻腰。它的外形就是典型的雙曲線。還有大家熟悉的埃菲爾鐵塔，電廠的冷卻塔都有雙曲線特征。雙曲線在生活中有很多的應用，那么數(shù)學上的雙曲線又是什么樣的呢？我們把圖1中的雙曲線挪個位置，就可以得到另一種的曲線形式，這個曲線我們可以用y=k/x 來表示，我們把這個數(shù)學表達式稱作反比例函數(shù)的表達式。<br> 那么雙曲線有什么特點呢？從圖中可以看到，雙曲線是對稱的兩條曲線，他們沿著x軸和y軸無線延伸，但兩條曲線永不與x軸和y軸相交。我們把x軸和y軸叫做雙曲線的漸進線。漸近線可以理解成無線逼近但是永不和雙曲線相交的直線，需要注意的是雙曲線不是只有x軸和y軸一種漸近線。<br> 雙曲線的漸近線是兩條直線，可不可以把漸近線看成科技館雙曲線模型中旋轉的直桿呢？如果讓漸近線旋轉起來，會得到什么圖形呢？七年六班趙天藝同學分享了<font color="#ff8a00">三角形的中位線</font>。三角形中位線是三角形兩邊中點的連線。中位線在生活中的應用也十分廣泛，像圖中這個例子，我們想要知道小紅家到甜品店的直線距離，可是尺子不夠長，兩地中間還隔著湖泊，這可怎么辦呢？ <div>　　圖中，l1∥l2∥l3,AD=DB，那么此時GE=EC嗎？看起來摸不著頭腦的題目我們只需要借助平行四邊形的性質就可以迎刃而解。<br></div> 如果將AB,GC向中間靠攏，使AG兩點重合，就形成了一個三角形,而我們剛才得到的結論可以類比出如果一條平行于底邊的線段將三角形一邊平均分成兩份，則另一邊也被平均分成兩份，如圖，若AD=DB,則AE=EC,這符合三角形中位線的定義，DE是這個三角形的中位線。而三角形的中位線與底邊也有一定的數(shù)量關系，我們再次借助平行四邊形，最終得到結論三角形的中位線的長度等于底邊的一半。<br> 想必大家現(xiàn)在已經(jīng)知道甜品店到小紅家的直線距離怎樣計算了吧。我們將甜品店抽象為點A，小紅家抽象為點B，連接AB，在AB外取一點C，這里利用了我們數(shù)學的抽象，連接ABC，做出并測量這個三角形的中位線再將其長度乘以2倍這樣就能將我們生活中的這個問題轉化為中位線與底邊的關系，這道題就迎刃而解了。三角形中位線的歷史十分悠久，最早在古巴比倫人在三角形土地的分割實踐中，已經(jīng)知道運用三角形中位線定理。之后，古希臘數(shù)學家歐幾里得，中國數(shù)學家劉徽都提及過此定理。<div>　　我們已經(jīng)知道三角形的中位線是三角形兩邊中點的連線，中位線的長度是底邊的二分之一，如果將中位線向上或向下移動，此時AD:DB=2:3，你知道此時DE與底邊的關系嗎？感興趣的同學可以在課后查找相關資料。</div> 數(shù)學就像無盡的海洋，我們永遠不知道它有多么寬廣,但一直不斷探索著，發(fā)現(xiàn)它的美并愛上它，我的分享到此結束，謝謝大家。<br> 七年五班蘇泓銘同學分享了<font color="#39b54a">等角螺線</font>。什么是等角螺線？顧名思義，就是像海螺或者蝸牛殼那樣的曲線。這種說法雖然不那么嚴謹，但卻能讓大家容易理解。等角螺線是曲線的一種，越接近中心，每周間的距離越密，直到中斷。中心部分的輔助線一圈密似一圈，向中心繞去。這就是幾何學中的等角螺線。<div>　　等角螺線存在著一個的驚人性質：按等角螺線的中心將圖形放大或者縮小，則可得到一個與原圖相似的圖形.在等角螺線中，若選極點為伸縮中心，則不論放大多少倍，或者縮小多少倍，所得的圖形是與原等角螺線全等！<div>　　億萬年來，夜晚活動的蛾子等昆蟲都是靠月光和星光來導航，因為天體距離地球很遠，這些光都可以看成是平行光，可以作為參照來做直線飛行。如上圖所示，注意蛾子只要按照固定夾角飛行，就可以飛成直線，這樣飛才最節(jié)省能量。但是，假設一只飛蛾被一支蠟燭，或者一個燈泡這樣的一個點光源吸引（四散光）。由于本能的驅動，飛蛾再按照等角形的規(guī)律飛行，就會不知不覺的越來越接近螺旋線的中心，最終被火光所吞滅。所以飛蛾補火，本質上并不是古人所認為的自取滅亡，而是飛蛾旅行中的悲劇。</div><br></div> 美妙的等角螺線除了剛才分享的有趣的性質之外，還有很多其他有趣的性質。正是由于它有很多特殊的性質，在很多方面都有著極其重要的應用。例如，在工業(yè)生產(chǎn)中，把抽水機的渦輪葉片的曲面做成等角螺線的形狀，抽水就很均勻。在農業(yè)生產(chǎn)中，把鐮刀的刀口彎曲成等角螺線的形狀，它就會按特定的角度來切割草料，又快又好。<br> 有趣的是，鳥飛翔的時候如果頭部和身體傾斜40°能達到最低的能量消耗，盤旋幾圈的結果就是鳥兒飛翔的軌跡，幾乎是一條等角螺線。慢慢的，我們會發(fā)現(xiàn)這根本不是巧合，日常生活中有很多東西都符合這一設定。比如，雙螺旋，星系，臺風，蝸牛，頭頂處的漩渦等等，乃至于伊藤潤二有一部漫畫題目就叫《漩渦》。 <div>　　后人發(fā)現(xiàn)其實萬物皆可添加等角螺線，這種東西其實更多是厲害的存在，但也不能否認大自然中真的有非常符合等角螺線的物種。事實上，我們是大自然的搬運工，在鸚鵡螺中就可以完美地復現(xiàn)這個曲線，它的殼就是最接近等角螺線的存在。宇宙中的星系，也存在這樣的規(guī)律?？梢?，雖然大自然外在表現(xiàn)形式往往有著天壤之別，但是在本質上卻是殊途同歸。<br></div><div> 自然界中除了等角螺線之外，還有很多有意思的螺線，比如阿基米德螺線、費馬螺線等等，這些螺線也同樣有著迷人的地方值得我們去欣賞、探究、發(fā)現(xiàn)！<br></div> 七年二班馬鑠涵同學分享了<font color="#167efb">指數(shù)與底數(shù)的奧秘</font>。這學期我們學習了整式的乘除，相信同學們對指數(shù)和底數(shù)并不陌生。例如，一個單項式ax，我們成a為底數(shù)，x為指數(shù)。為了探索指數(shù)x的奧秘，讓我們先來看這樣一個問題: 折紙是幾乎每個人都曾接觸過的游戲，一張普通的正方形紙片，通過不同的方法，可以折出“無數(shù)”的新奇玩意兒。但是在折紙的過程中，大家有沒有考慮過，一張紙到底能折幾次呢？折疊之后它的厚度是多少呢？一張符合國際紙張標準的A4紙，它的厚度大約是0.1mm，對折一次，它的厚度只有0.2mm，對折兩次，也僅僅還是0.4mm。我們假設，這張紙可以一直對折下去，你能想象嗎，當它被對折到第20次的時候，紙張的厚度或者說高度則約為105米，相當于40層樓左右的高度。對折27次后，高度將達到1.3萬米，取代8848.86米的珠穆朗瑪峰，成為地表之上最高的物體。在這背后的科學原理又是什么呢？其實這就是數(shù)學中指數(shù)爆炸的威力，也稱之為指數(shù)函數(shù)的“爆炸性”增長現(xiàn)象！隨著指數(shù)的不斷增長，當指數(shù)數(shù)值超過了某一個“臨界點”后，這條曲線便會開始呈現(xiàn)出“爆炸性”增長的趨勢。當然，指數(shù)爆炸現(xiàn)象的出現(xiàn)是有條件的，就是底數(shù)要大于1。如果底數(shù)是大于0小于1的分數(shù)，情況就會出現(xiàn)反轉。由此可見，底數(shù)的作用也不容小覷。接下來就讓我們看看底數(shù)之間的“差距”。1.01和0.99，到底相差多少。表面看起來只是相差了0.02，可以說是微乎其微，不足道哉。但是當與365乘方后，1.01的365次方約等于37.8，0.99的365次方約等于0.03，結果之間是卻是近1260倍。這里，我們可以用1代表一天，那么1.01就是一天多做了一點兒，0.99是一天少做了一點兒。一年365天，365個1，所以每天勤奮一點與每天懶惰一點的差距，顯而易見。積跬步以致千里，積怠惰以致深淵。通過對指數(shù)與底數(shù)的探索，我們不難發(fā)現(xiàn)，人生中，差別不大的0.01不可小覷，微小的勤奮只要堅持下去也會成就非凡，微小的惰性日積月累亦會帶來巨大的失敗;人與人之間的初始差別往往就在于0.01，關鍵是看我們對待這0.01的態(tài)度。人生之路，荊棘坎坷，如同登山一般，只要肯往上走，即便每天一小步，也會創(chuàng)造人生的新高度。七年一班劉永東同學分享了<font color="#b06fbb">三浦折紙</font>。三浦折疊是由日本東京大學構造工學名譽教授（簡稱天體物理學家）三浦公亮所發(fā)明的折疊技術。該技術是以拉開對角兩端來把物品展開，而在收縮時則反向推入。這種方法可節(jié)省空間外，又可避免折疊和展開的過程中造成損耗。研究發(fā)現(xiàn)這種方法可使物件的體積減少25倍，并使能量密度加強14倍。三浦折疊的放縮比為25:1，后由中國設計師裴浩正改進為81:1。<br>　　下面，同學們可以跟著我一起拿出一張正方形紙，試著仿照三浦折疊的方法動手折一折。如今，三浦折疊在衛(wèi)星、航天器的太陽能電池板、隔音墻等方面均有應用。1995年，以三浦折疊思路設計的太陽能電池板被實際用于日本的一顆衛(wèi)星。因此，它在2006年被經(jīng)濟產(chǎn)業(yè)省評為百大日本發(fā)明之一。2017年，密歇根大學研究人員受折紙啟發(fā)，以三浦折疊的折紙手法打造了降噪系統(tǒng)。<br> 其實呢，大家不難發(fā)現(xiàn)，生活中被我們看作玩具的折紙中，也蘊含著數(shù)學知識。當我們把折紙藝術從數(shù)學的角度加以研究時，會發(fā)現(xiàn)出無窮無盡的力量與智慧。<br> 七年七班王子銘同學分享了<font color="#ed2308">胡不歸和將軍飲馬</font>。唐朝詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說，“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題，如圖所示，詩中軍人在觀望風火之后，從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點宿營，請問怎樣走才能使總路程最短呢？<br> 將軍飲馬問題其實就是對稱軸問題，也可以說是最短距離問題，我們稱軸對稱是工具最短距離是題眼。所謂軸對稱工具：及這類問題，最常用的做法就是做軸對稱。而最短距離是題眼：也就意味著歸類這類的題目的理由是最短距離。比如題目經(jīng)常會出現(xiàn)線段A + B這樣的條件或者問題，一旦出現(xiàn)就可以快速聯(lián)想到將軍飲馬問題，然后利用軸對稱解題。接下來就是第三部分，探索新知—胡不歸。它與將軍飲馬的共同點：1.都是動點問題，一般都是兩定一動。2.動點的軌跡都為直線，也就是說動點在直線上運動。3.都是求線段之和的最小值。他們的不同點是“1.胡不歸問題的線段帶有系數(shù)，而且0<系數(shù)<1，例如PA+1/2PB。2.將軍飲馬利用兩點之間線段最短解決問題，而胡不歸利用點到直線垂線最短解決問題。3.胡不歸問題構圖使用的是直角三角形而將軍飲馬使用的是等腰三角形。這和我們后續(xù)會學到的三角函數(shù)和勾股定理有關。今天我從將軍飲馬問題延伸到了胡不歸問題，也就是從利用軸對稱解決問題轉向利用垂線最短解決問題。這之中我們多次利用了轉化的思想，例如“化曲為直”。我們也接觸到了sin這位新朋友，他也將在我們以后的數(shù)學生活中作為“常駐嘉賓”出現(xiàn)，胡不歸問題也可能會在中考試題中出現(xiàn)，大家一定不要死記硬背，嘗試著用轉化的思想，去解決這類題。 <p class="ql-block">　　七年三班張語桐同學分享了<span style="color:rgb(255, 138, 0);">π是怎樣計算的</span>。</p> 我們都知道圓周率是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母π表示，是一個在數(shù)學及物理學中普遍存在的數(shù)學常數(shù)老師告訴我們這個值約等于3.1415926。當然，隨著科學技術的發(fā)展，這個數(shù)值在不斷的精確，目前已計算到小數(shù)點后10萬億位?？墒峭瑢W們，你們知道這個π究竟是如何計算出來的嗎?<br><div>　　縱觀π的計算方法,在歷史上大概分為實驗時期、幾何法時期、解析法時期和電子計算機計算法幾種。<br></div><div> 實驗時期：約產(chǎn)于公元前1900年至1600年的一塊古巴比倫石匾上記載了圓周率：25/8=3.125而埃及人似乎更早的知道圓周率，英國作家在其名著《金字塔》中指出，造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圓周率有關例如，金字塔的周長和高度之比等于圓周率的兩倍正好等于圓的周長和半徑之比。<br></div> 這種方法隨后，被兩位中國數(shù)學家發(fā)揚光大。公元263年，中國數(shù)學家劉徽用“割圓術”，求出3072邊形的面積，得到令自己滿意的圓周率=3.1416。到南北朝時期的數(shù)學家祖沖之進一步求出圓內接正12288邊形和正24576邊形的面積，得到3.1415926<π<3.1415927的精確值，在之后的800年里祖沖之計算出的π值都是最準確的。 2011年10月16日，日本長野縣飯?zhí)锸泄韭殕T用家中電腦將圓周率計算到小數(shù)點后10萬億位，刷新了2010年8月由他自己創(chuàng)下的5萬億位吉尼斯世界紀錄。56歲的近藤茂使用的是自己組裝的計算機，從10月起開始計算花費約一年時間刷新了紀錄。<br> 拓數(shù)學知識，展數(shù)學魅力。數(shù)學的世界中還有許許多多的神秘之處等待著我們的探索，只要我們用心感悟，就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學中“柳暗花明又一村”的迷人風景。