<p class="ql-block">數(shù)來(lái)源于對(duì)數(shù)量本質(zhì)的抽象，數(shù)量的本質(zhì)是多與少，因此數(shù)字就是那些能夠由小到大進(jìn)行排列的符號(hào)。這個(gè)抽象過(guò)程經(jīng)歷了計(jì)數(shù)和符號(hào)兩個(gè)階段。能夠形成十進(jìn)制計(jì)數(shù)系統(tǒng)是人類(lèi)的重大進(jìn)步，其核心是10個(gè)符號(hào)，加上位數(shù)準(zhǔn)則。</p><p class="ql-block">為了討論數(shù)的表示，就必須先討論數(shù)量的本質(zhì)，因?yàn)閿?shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，而抽象的核心工作是對(duì)本質(zhì)的提煉和刻畫(huà)</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">（一）數(shù)量的本質(zhì)</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">數(shù)量的本質(zhì)應(yīng)該是多與少。人類(lèi)對(duì)數(shù)量多少的感知可能比語(yǔ)言的形成還要早，但是人類(lèi)能夠從數(shù)量的多少中抽象出數(shù)的概念，卻是非常不容易的。</p> <p class="ql-block">（二）十進(jìn)制計(jì)數(shù)系統(tǒng)的抽象過(guò)程分析</p><p class="ql-block">從人類(lèi)的發(fā)展歷程來(lái)分析，十進(jìn)制計(jì)數(shù)系統(tǒng)的抽象過(guò)程經(jīng)，歷了計(jì)數(shù)、符號(hào)兩個(gè)層次的抽象。</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">第一步抽象：計(jì)數(shù)</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">大多數(shù)的文明很早就會(huì)計(jì)數(shù)了，但是數(shù)字符號(hào)的發(fā)明可能要比文字符號(hào)的發(fā)明更晚一些。</p> <p class="ql-block">第二步：符號(hào)</p><p class="ql-block">符號(hào)的表達(dá)必須擺脫具體內(nèi)容。否則這種表達(dá)將不具有一般性，在這種表述基礎(chǔ)上的計(jì)算和推理也將不具有普適性。因此，數(shù)字符號(hào)后面不能有名數(shù)，需要完全脫離具體的背景，否則不可能一般的建立起關(guān)于“多少”的概念……另一方面從“多少”這一基本概念出發(fā)，可以自然地推導(dǎo)出這樣一個(gè)事實(shí)：在一些東西上再加一些東西要比原來(lái)的“多”，如果數(shù)字符號(hào)后面綴有名數(shù)，則很難表現(xiàn)出這一事實(shí)……因此，數(shù)字符號(hào)只能是一些表示數(shù)量多少的符號(hào)，除了多少以外沒(méi)有任何具體的含義，而每一個(gè)具體的事件都是這種表示的特例。</p> <p class="ql-block">把那些所有表示數(shù)量的符號(hào)放在一起，則得到了一個(gè)集合。我們稱(chēng)這個(gè)集合為“數(shù)集”。從上面的推斷可以知道，這個(gè)數(shù)集中的符號(hào)之間至少要滿(mǎn)足一種關(guān)系，那便是“多少”，或者稱(chēng)之為“大小”。為了做到這一點(diǎn)，就必須在這個(gè)數(shù)集中定義一個(gè)“序”的關(guān)系，我們可以 稱(chēng)之為“大于”。那么，數(shù)集中的任何兩個(gè)符號(hào)之間都必須滿(mǎn)足這種序關(guān)系。 a和b是數(shù)集中的兩個(gè)符號(hào) 則不是a大于b就是b大于a;如果a大于b同時(shí)b也大于a，則表示同一個(gè)號(hào)，即a和b相等。顯然，十進(jìn)制的數(shù)字的集合滿(mǎn)足這種序關(guān)系。這樣，我們便完成了對(duì)于數(shù)字符號(hào)的抽象:數(shù)字是那些能夠由 小到大進(jìn)行排列的符號(hào)。</p> <p class="ql-block">關(guān)鍵點(diǎn)一：進(jìn)位</p><p class="ql-block">因?yàn)閿?shù)量可以無(wú)限制得多，于是數(shù)字符號(hào)也應(yīng)當(dāng)是無(wú)窮無(wú)盡的，我們將遇到一個(gè)天大的難題:必須用無(wú)窮多個(gè)符號(hào)來(lái)表示所有的數(shù)字。聰明的人類(lèi)發(fā)明了進(jìn)位，有些符號(hào)可以重復(fù)使用了。如果計(jì)數(shù)規(guī)則是十進(jìn)制，那么，除了一到九的符號(hào)外，再創(chuàng)造出十進(jìn)位基數(shù)的符號(hào):在中國(guó)是十、百、千;在古羅馬相應(yīng)的是xC、M等。請(qǐng)注意到，在這個(gè)符號(hào)系統(tǒng)中。五十并不是指50，而是指五個(gè)十;三萬(wàn)也不是指30000，而是指三個(gè)一萬(wàn)。因此，這是一個(gè)由語(yǔ)言符號(hào)系統(tǒng)向完全數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)的過(guò)渡的符號(hào)系統(tǒng)，可以稱(chēng)為準(zhǔn)數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)…</p> <p class="ql-block">關(guān)鍵點(diǎn)二:位數(shù)。</p><p class="ql-block">現(xiàn)在只需要再進(jìn)行一個(gè)小小的創(chuàng)造，但是為了這個(gè)小小的創(chuàng)造，人類(lèi)用了幾個(gè)世紀(jì)。這個(gè)創(chuàng)造就是位數(shù)準(zhǔn)則:數(shù)字符號(hào)在不同的“位”表示基數(shù)不同的量。可以回想我們的祖先發(fā)明的算盤(pán)，在算盤(pán)中，同樣多的珠在不同的位置表示的量是不同的:兩個(gè)珠在個(gè)位表示二，在十位表示二十。多么巧妙的設(shè)計(jì)!可是，如何通過(guò)數(shù)字符號(hào)來(lái)表達(dá)這個(gè)功能呢?可以看到，這就像算 中的空檔一樣，只需要再發(fā)明一個(gè)符號(hào):零。</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">“零”是印度人發(fā)明的，用sunya表示，原意為“空”……在數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)中加上0，一個(gè)有效并且簡(jiǎn)捷的十進(jìn)制數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)就建立起來(lái)了:10個(gè)符號(hào)加上位數(shù)準(zhǔn)則。</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">后來(lái)阿拉伯人把這個(gè)數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)帶到了歐洲，于是這個(gè)數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)在歐洲也流行起來(lái)，那已經(jīng)是公元10世紀(jì)以后的事情了?，F(xiàn)在人們?nèi)匀环Q(chēng)這個(gè)數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)為阿拉伯?dāng)?shù)字。意大利數(shù)學(xué)家斐波那契是第一個(gè)著書(shū)向歐洲人介紹印度的十進(jìn)制的……馬克思終生喜愛(ài)研究數(shù)學(xué)，在《數(shù)學(xué)手稿》中他稱(chēng)贊十進(jìn)制計(jì)數(shù)法是“最妙的發(fā)明之一”……</p> <p class="ql-block">人類(lèi)從數(shù)量的多少中抽象出數(shù)的概念，并且用10個(gè)符號(hào)來(lái)表示，這不僅是對(duì)于數(shù)學(xué)，即便是對(duì)于人類(lèi)文明的發(fā)展的貢獻(xiàn)也都是巨大。同時(shí)，這些符號(hào)的出現(xiàn)也是自然的，是合情合理的，于是，人們稱(chēng)這個(gè)符號(hào)系統(tǒng)為自然數(shù)集（正整數(shù)），我們用N表示自然數(shù)集。</p> <p class="ql-block">果然，對(duì)于一年級(jí)的孩子們，11~20各數(shù)的認(rèn)識(shí)，是學(xué)生認(rèn)識(shí)兩位數(shù)的起始階段，也是學(xué)習(xí)十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法的啟蒙階段。本單元在他們整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中有著舉足輕重的單位，作為老師，只覺(jué)得任重而道遠(yuǎn)……</p> <p class="ql-block">數(shù)數(shù)</p> <p class="ql-block">突出計(jì)數(shù)單位“十”</p><p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;">通過(guò)小朋友們?cè)陔s亂無(wú)章的主題圖中用自己喜歡的方法，看誰(shuí)把積木塊等物體的個(gè)數(shù)又快又準(zhǔn)數(shù)出來(lái)的直觀操作，對(duì)比各種不同方法的優(yōu)劣：2個(gè)，2個(gè)地?cái)?shù)；5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)；8個(gè)8個(gè)數(shù)；10個(gè)10個(gè)地?cái)?shù)……</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;">一次又一次數(shù)數(shù)的體驗(yàn)中初步感受計(jì)數(shù)單位越大，數(shù)得越快。</span></p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">結(jié)合捆小棒的過(guò)程理解：1個(gè)“十”就是10個(gè)“一”，10根捆起來(lái)變成1個(gè)“十”，解開(kāi)捆綁，又變成10根小棒，也就是10個(gè)“一”。<span style="color: rgb(57, 181, 74);">不管“打捆”或是“解綁”，小棒的個(gè)數(shù)沒(méi)有多沒(méi)有少，所以1個(gè)“十”和10個(gè)“一”是等價(jià)的</span>。</p><p class="ql-block">我們把散亂的小棒整理成整捆的和單根的：10個(gè)為一捆，“一捆”就是1個(gè)“十”。這樣，通過(guò)觀察，從10接著往上數(shù)就能立馬得出正確結(jié)果，達(dá)到一眼就能看出小棒個(gè)數(shù)的效果。</p><p class="ql-block">在數(shù)的過(guò)程中知道：1個(gè)十和1個(gè)一合起來(lái)是十一，十幾就是1個(gè)十和幾個(gè)一組成。</p><p class="ql-block">在數(shù)小棒圖的情境中，讓學(xué)生經(jīng)歷從11數(shù)到20的過(guò)程，在數(shù)的過(guò)程中觀察到每一個(gè)數(shù)字都是由一捆（1個(gè)十）和幾根（幾個(gè)一）組成的。</p><p class="ql-block">重點(diǎn)演繹對(duì)20根小棒的處理：19根小棒由一捆和9根組成，再添上一根就是10根，為了方便計(jì)數(shù)，遇到滿(mǎn)10根的，就捆成一捆，變成1個(gè)十，多了1個(gè)十，變成2個(gè)十，滲透“滿(mǎn)十進(jìn)一”的思想。</p><p class="ql-block">把“捆”換成計(jì)數(shù)單位“十”，把“根”換成“一”，有幾捆就是幾個(gè)十，有幾根就是幾個(gè)一。引出數(shù)位</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">數(shù)位</p><p class="ql-block">計(jì)數(shù)器右起第一個(gè)檔叫個(gè)位，右起第二檔叫十位，十位上一顆珠子表示有一個(gè)十，個(gè)位上有幾個(gè)珠就表示有幾個(gè)一，合起來(lái)就是十幾。</p><p class="ql-block">整捆小棒對(duì)應(yīng)“十位”，單根小棒對(duì)應(yīng)“個(gè)位”，滲透位值制的含義：十位上的數(shù)表示幾個(gè)十，個(gè)位上的數(shù)表示幾個(gè)一。小棒與計(jì)數(shù)器演示對(duì)比中抽象出“數(shù)位”：從右邊起第一位是個(gè)位，第二位是十位。有1個(gè)十在十位寫(xiě)1,有2個(gè)十在十位寫(xiě)2。有幾個(gè)一在個(gè)位寫(xiě)幾。</p><p class="ql-block">對(duì)比“11”兩個(gè)“1”表示是否相同，強(qiáng)化位值理解。</p> <p class="ql-block">十進(jìn)制</p> <p class="ql-block">計(jì)數(shù)器播珠演示</p><p class="ql-block">從1撥到9，觀察再添一個(gè)就是滿(mǎn)十個(gè)，有“10個(gè)一”，把它們捆成一捆變成“1個(gè)十”，個(gè)位清零，挪十位上，十位加一顆珠子表示1個(gè)十，即10；從11撥到19，再添一顆珠子個(gè)位又“滿(mǎn)十個(gè)”，捆成一捆變成1個(gè)十，個(gè)位清零，挪到十位上，十位上多撥一顆珠子，變成兩個(gè)十，即20。</p> <p class="ql-block">10加幾及20以?xún)?nèi)不退位減法口算</p><p class="ql-block">數(shù)出10,再數(shù)出幾，就是十幾的數(shù)數(shù)經(jīng)驗(yàn)抽象為"十加幾就是十幾"</p><p class="ql-block">10以?xún)?nèi)的口算遇到困難學(xué)生還能掰手指頭算，可是到了20以?xún)?nèi)的，就有一定困難了：諸如15＋4= ，18-4= 這樣的題目，猛地?cái)?shù)字一大，部分孩子有點(diǎn)摸不著頭腦；其實(shí)此類(lèi)題目的出現(xiàn)重點(diǎn)在于通過(guò)運(yùn)算深化學(xué)生對(duì)11~20各數(shù)的認(rèn)識(shí)：認(rèn)識(shí)加減法算式中每一部分的名稱(chēng)，感悟十幾就是十加幾，理解十幾里面有1個(gè)十和幾個(gè)“一”；而非運(yùn)算方法的教學(xué)：在操作中以數(shù)的組成為基礎(chǔ)進(jìn)行口算。</p><p class="ql-block">不好理解的過(guò)程就用小棒擺或動(dòng)筆畫(huà)，既然超過(guò)了10，就先擺上一捆小棒，單根的一根根擺出來(lái)，或添加，或拿走……擺得多了，畫(huà)得多了，終究會(huì)悟出來(lái)一個(gè)道理：有一捆小棒總是靜靜地躺在那里不動(dòng)聲色，進(jìn)行運(yùn)算的就是單根小棒的添加或去掉。擺得多了，畫(huà)得多了，小棒和圖形也就扎根于腦海深處，直觀表象一旦建立，接下來(lái)就只是速度的比拼了……</p> <p class="ql-block">作為整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，20以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)以“看得見(jiàn)”的多種直觀呈現(xiàn)方式，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起步階段對(duì)接一年級(jí)學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，把學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)懵懂朦朧的感性認(rèn)識(shí)鞏固升華:孩子們能夠“理得順”知識(shí)的來(lái)龍去脈，能夠用語(yǔ)言（圖解、符號(hào)、文字、演示）將學(xué)習(xí)和思考“說(shuō)得清”，慢慢“悟得透”數(shù)學(xué)是怎么回事，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是怎么回事……</p> <p class="ql-block">漫長(zhǎng)的鋪墊……</p><p class="ql-block">課堂上布置了一項(xiàng)梳理反饋?zhàn)鳂I(yè)：</p><p class="ql-block">1.任選兩個(gè)數(shù)字，看到數(shù)字你能想到哪些與它想關(guān)的知識(shí)呢？寫(xiě)一寫(xiě)，畫(huà)一畫(huà)</p><p class="ql-block">2.在數(shù)位表里隨意寫(xiě)一個(gè)數(shù)字，能把它的組成表達(dá)出來(lái)嗎？試試看</p><p class="ql-block">3.出一個(gè)題考考老師吧？</p><p class="ql-block"><span style="font-size: 18px;">學(xué)習(xí)過(guò)后孩子們心中留下了哪些印記呢？又能帶給老師什么樣的啟示？一起看一看吧？</span></p> <p class="ql-block">教育，除了增進(jìn)人的知識(shí)與技能，發(fā)展人的智力與體力以外，更深層次則是影響人的思想觀念。如德國(guó)哲學(xué)家雅斯貝爾斯所說(shuō)：“教育的本質(zhì)意味著：一棵樹(shù)搖動(dòng)另一棵樹(shù)，一朵云推動(dòng)另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂。”非常優(yōu)美，非常詩(shī)意。他告訴我們的是一個(gè)重要的概念：教育真正的價(jià)值是一種啟蒙，一種喚醒，一種打開(kāi)，一種點(diǎn)燃，一種開(kāi)悟，一種得道…… </p> <p class="ql-block">一起加油吧！</p>
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